時間序列分析中包含了許多復(fù)雜的數(shù)學(xué)公式，它們往往難以留存于記憶之中。為了更好地掌握這些內(nèi)容，本文將整理并總結(jié)時間序列分析中的一些核心概念，如自協(xié)方差、自相關(guān)和平穩(wěn)性等，并通過Python實現(xiàn)和圖形化展示這些概念，使其更加直觀易懂。希望通過這篇文章幫助大家更清楚地理解時間序列分析的基礎(chǔ)框架和關(guān)鍵點。8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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1.什么是時間序列?-自協(xié)方差、自相關(guān)和平穩(wěn)性

時間序列與時間有關(guān)，隨著時間的推移觀察到的數(shù)據(jù)稱為時間序列數(shù)據(jù):例如，心率監(jiān)測，每日最高溫度等。雖然這些例子是有規(guī)律的間隔觀察到的，但也有不規(guī)則間隔觀察到的時間序列數(shù)據(jù)，如盤中股票交易、臨床試驗等。我們將使用定期觀察跨度的時間序列數(shù)據(jù)，并且只有一個變量(單變量時間序列)。從數(shù)學(xué)上我們可以這樣定義時間序列:8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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如果我們把X _l看作一個隨機變量，可以定義一個依賴于觀測時間t的均值和方差。8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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對于時間序列數(shù)據(jù)，可能想要比較過去和當(dāng)前的數(shù)據(jù)。所以就引出了兩個基本概念，自協(xié)方差和自相關(guān)8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

自協(xié)方差

從技術(shù)上講，自協(xié)方差和協(xié)方差是一樣的。協(xié)方差有如下公式:8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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協(xié)方差計算兩個變量X和y之間的關(guān)系。在計算樣本協(xié)方差時，我們將每個觀測值與平均值之間的差除以n-1，類似于樣本方差。對于自協(xié)方差則計算前一個觀測值與當(dāng)前觀測值之間的樣本協(xié)方差。公式如下:8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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這里的h被稱為滯后。滯后的X是前一個X值偏移了h位置。所以公式與協(xié)方差相同。8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

自相關(guān)

自相關(guān)也和相關(guān)一樣，相關(guān)關(guān)系有如下公式。8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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相關(guān)性將協(xié)方差除以變量X和y的標準差，我們可以認為相關(guān)性類似于標準化協(xié)方差除以標準差。對于自相關(guān)，計算以前和當(dāng)前觀測值之間的相關(guān)性。h在公式中也表示滯后性。8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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當(dāng)協(xié)方差和相關(guān)取較大的正值時，X和Y兩個變量呈正相關(guān)關(guān)系。那么自協(xié)方差和自相關(guān)呢?我們來看看可視化。8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

對于第一個示例，從AR(1)流程生成數(shù)據(jù)(稍后我們將看到它)。它看起來像嘈雜的數(shù)據(jù)。8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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在這種情況下，自協(xié)方差和自相關(guān)圖如下圖所示。x軸表示滯后。8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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可以看到自協(xié)方差和自相關(guān)有相似的趨勢。因此可以想象自相關(guān)可以被認為是標準化的自協(xié)方差。8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

對于下面的示例將使用真實世界的數(shù)據(jù)，例如AirPassengers[4]。airpassenger數(shù)據(jù)有明顯的上升趨勢。8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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自協(xié)方差和自相關(guān)圖如下圖所示。x軸表示滯后。8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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自協(xié)方差和自相關(guān)也有類似的趨勢。這個數(shù)據(jù)比第一個例子有更多的相關(guān)性和更大的滯后。8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

我們了解了兩個關(guān)鍵概念，自協(xié)方差和自相關(guān)。接下來，我們討論一個叫做平穩(wěn)性的新概念。平穩(wěn)時間序列意味著數(shù)據(jù)屬性，如均值、方差和協(xié)方差，不依賴于觀測時間。平穩(wěn)性有兩種類型:8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

弱平穩(wěn)(二階平穩(wěn))

該過程具有以下關(guān)系，稱為弱平穩(wěn)性，二階平穩(wěn)性或協(xié)方差平穩(wěn)性。(有很多稱呼它的方式。)8sc28資訊網(wǎng)——每日最新資訊28at.com

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其中μ是常數(shù)，且

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