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決策樹(shù)(Decision Tree)是一種常見(jiàn)的機(jī)器學(xué)習(xí)算法，被廣泛應(yīng)用于分類和回歸任務(wù)中。并且再其之上的隨機(jī)森林和提升樹(shù)等算法一直是表格領(lǐng)域的最佳模型，所以本文將介紹理解其數(shù)學(xué)概念，并在Python中動(dòng)手實(shí)現(xiàn)，這可以作為了解這類算法的基礎(chǔ)知識(shí)。
在深入研究代碼之前，我們先要了解支撐決策樹(shù)的數(shù)學(xué)概念:熵和信息增益
熵作為度量來(lái)量化數(shù)據(jù)集中的雜質(zhì)或無(wú)序。特別是對(duì)于決策樹(shù)，熵有助于衡量與一組標(biāo)簽相關(guān)的不確定性。數(shù)學(xué)上，數(shù)據(jù)集S的熵用以下公式計(jì)算:
Entropy(S) = -p_pos * log2(p_pos) - p_neg * log2(p_neg)P_pos表示數(shù)據(jù)集中正標(biāo)簽的比例，P_neg表示數(shù)據(jù)集中負(fù)標(biāo)簽的比例。
更高的熵意味著更大的不確定性或雜質(zhì)，而更低的熵意味著更均勻的數(shù)據(jù)集。
信息增益是評(píng)估通過(guò)基于特定屬性劃分?jǐn)?shù)據(jù)集所獲得的熵的減少。也就是說(shuō)它衡量的是執(zhí)行分割后標(biāo)簽確定性的增加。
數(shù)學(xué)上，對(duì)數(shù)據(jù)集S中屬性a進(jìn)行分割的信息增益計(jì)算如下:
Information Gain(S, A) = Entropy(S) - ∑ (|S_v| / |S|) * Entropy(S_v)S 表示原始數(shù)據(jù)集，A表示要拆分的屬性。S_v表示屬性A保存值v的S的子集。
目標(biāo)是通過(guò)選擇使信息增益最大化的屬性，在決策樹(shù)中創(chuàng)建信息量最大的分割。
有了以上的基礎(chǔ)，就可以使用Python從頭開(kāi)始編寫(xiě)Decision Tree算法。
首先導(dǎo)入基本的numpy庫(kù)，它將有助于我們的算法實(shí)現(xiàn)。
import numpy as np創(chuàng)建DecisionTree類
class DecisionTree: def __init__(self, max_depth=None): self.max_depth = max_depth定義了DecisionTree類來(lái)封裝決策樹(shù)。max_depth參數(shù)是樹(shù)的最大深度，以防止過(guò)擬合。
def fit(self, X, y, depth=0): n_samples, n_features = X.shape unique_classes = np.unique(y) # Base cases if (self.max_depth is not None and depth >= self.max_depth) or len(unique_classes) == 1: self.label = unique_classes[np.argmax(np.bincount(y))] return擬合方法是決策樹(shù)算法的核心。它需要訓(xùn)練數(shù)據(jù)X和相應(yīng)的標(biāo)簽，以及一個(gè)可選的深度參數(shù)來(lái)跟蹤樹(shù)的深度。我們以最簡(jiǎn)單的方式處理樹(shù)的生長(zhǎng)：達(dá)到最大深度或者遇到純類。
確定最佳分割屬性，循環(huán)遍歷所有屬性以找到信息增益最大化的屬性。_information_gain方法(稍后解釋)幫助計(jì)算每個(gè)屬性的信息增益。
best_attribute = None best_info_gain = -1 for feature in range(n_features): info_gain = self._information_gain(X, y, feature) if info_gain > best_info_gain: best_info_gain = info_gain best_attribute = feature處理不分割屬性，如果沒(méi)有屬性產(chǎn)生正的信息增益，則將類標(biāo)簽分配為節(jié)點(diǎn)的標(biāo)簽。
if best_attribute is None: self.label = unique_classes[np.argmax(np.bincount(y))] return分割和遞歸調(diào)用，下面代碼確定了分割的最佳屬性，并創(chuàng)建兩個(gè)子節(jié)點(diǎn)。根據(jù)屬性的閾值將數(shù)據(jù)集劃分為左右兩個(gè)子集。
self.attribute = best_attribute self.threshold = np.median(X[:, best_attribute]) left_indices = X[:, best_attribute] <= self.threshold right_indices = ~left_indices self.left = DecisionTree(max_depth=self.max_depth) self.right = DecisionTree(max_depth=self.max_depth) self.left.fit(X[left_indices], y[left_indices], depth + 1) self.right.fit(X[right_indices], y[right_indices], depth + 1)并且通過(guò)遞歸調(diào)用左子集和右子集的fit方法來(lái)構(gòu)建子樹(shù)。
預(yù)測(cè)方法使用訓(xùn)練好的決策樹(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)。如果到達(dá)一個(gè)葉節(jié)點(diǎn)(帶有標(biāo)簽的節(jié)點(diǎn))，它將葉節(jié)點(diǎn)的標(biāo)簽分配給X中的所有數(shù)據(jù)點(diǎn)。
def predict(self, X): if hasattr(self, 'label'): return np.array([self.label] * X.shape[0])當(dāng)遇到非葉節(jié)點(diǎn)時(shí)，predict方法根據(jù)屬性閾值遞歸遍歷樹(shù)的左子樹(shù)和右子樹(shù)。來(lái)自雙方的預(yù)測(cè)被連接起來(lái)形成最終的預(yù)測(cè)數(shù)組。
is_left = X[:, self.attribute] <= self.threshold left_predictions = self.left.predict(X[is_left]) right_predictions = self.right.predict(X[~is_left]) return np.concatenate((left_predictions, right_predictions))下面兩個(gè)方法是決策樹(shù)的核心代碼，并且可以使用不同的算法來(lái)進(jìn)行計(jì)算，比如ID3 算法使用信息增益作為特征選擇的標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)度量了將某特征用于劃分?jǐn)?shù)據(jù)后，對(duì)分類結(jié)果的不確定性減少的程度。算法通過(guò)遞歸地選擇信息增益最大的特征來(lái)構(gòu)建決策樹(shù)，也就是我們現(xiàn)在要演示的算法。
_information_gain方法計(jì)算給定屬性的信息增益。它計(jì)算分裂后子熵的加權(quán)平均值，并從父熵中減去它。
def _information_gain(self, X, y, feature): parent_entropy = self._entropy(y) unique_values = np.unique(X[:, feature]) weighted_child_entropy = 0 for value in unique_values: is_value = X[:, feature] == value child_entropy = self._entropy(y[is_value]) weighted_child_entropy += (np.sum(is_value) / len(y)) * child_entropy return parent_entropy - weighted_child_entropy熵的計(jì)算
def _entropy(self, y): _, counts = np.unique(y, return_counts=True) probabilities = counts / len(y) return -np.sum(probabilities * np.log2(probabilities))_entropy方法計(jì)算數(shù)據(jù)集y的熵，它計(jì)算每個(gè)類的概率，然后使用前面提到的公式計(jì)算熵。
常見(jiàn)的算法還有：
C4.5 是 ID3 的改進(jìn)版本，C4.5 算法在特征選擇時(shí)使用信息增益比，這是對(duì)信息增益的一種歸一化，用于解決信息增益在選擇特征時(shí)偏向于取值較多的特征的問(wèn)題。
CART 與 ID3 和 C4.5 算法不同，CART(Classification And Regression Tree)又被稱為分類回歸樹(shù)，算法采用基尼不純度(Gini impurity)來(lái)度量節(jié)點(diǎn)的不確定性，該不純度度量了從節(jié)點(diǎn)中隨機(jī)選取兩個(gè)樣本，它們屬于不同類別的概率。
ID3、C4.5 和 CART 算法都是基于決策樹(shù)的經(jīng)典算法，像Xgboost就是使用的CART 作為基礎(chǔ)模型。
以上就是使用Python中構(gòu)造了一個(gè)完整的決策樹(shù)算法的全部。決策樹(shù)的核心思想是根據(jù)數(shù)據(jù)的特征逐步進(jìn)行劃分，使得每個(gè)子集內(nèi)的數(shù)據(jù)盡量屬于同一類別或具有相似的數(shù)值。在構(gòu)建決策樹(shù)時(shí)，通常會(huì)使用一些算法來(lái)選擇最佳的特征和分割點(diǎn)，以達(dá)到更好的分類或預(yù)測(cè)效果。
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