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微分方程 受迫振動(微分方程受迫振動)

來源: 責編: 時間:2024-05-20 08:48:51 286觀看
導讀 如果在彈簧振子上再加一個外力,運動方程就是: 這是一個非齊次方程,也就是說它的右邊是有東西的。非齊次方程的困難之處就在于,沒有一 用通用的方法來猜解,需要根據方程右邊的東西看著辦。 通過物理實驗我們已經

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這是一個非齊次方程,也就是說它的右邊是有東西的。非齊次方程的困難之處就在于,沒有一 用通用的方法來猜解,需要根據方程右邊的東西看著辦。n8b28資訊網——每日最新資訊28at.com

通過物理實驗我們已經知道,受迫振動的頻率與外力相同,那么可以猜x=Asin ωt Bcos ωt,A,B都是實常量。代入方程得到:n8b28資訊網——每日最新資訊28at.com

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解得:n8b28資訊網——每日最新資訊28at.com

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根號里是ω的二次函數,ω略小于時,振幅最大。相位的變化比較復雜,有 (mei) 興 (shi) 趣 (gan)的同學可以畫個圖。n8b28資訊網——每日最新資訊28at.com

但是!我們怎么把常量A和B解出來了?這里的A和B并不是待定常量,我們解出的只是 一個特解,而不是通解。但是我們發現,如果是非齊次方程的解,而是對應的齊次方程的解,那么是這個非齊次方程的解。n8b28資訊網——每日最新資訊28at.com

所以把阻尼振動的通解加上去就是受迫振動的通解。阻尼振動的解會指數衰減,所以經過足夠 長的時間之后就只剩下受迫振動的特解。n8b28資訊網——每日最新資訊28at.com

【練習】解方程:n8b28資訊網——每日最新資訊28at.com

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想一想應該猜什么樣的解。n8b28資訊網——每日最新資訊28at.com

解方程:n8b28資訊網——每日最新資訊28at.com

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真的要從頭開始解一遍嗎?n8b28資訊網——每日最新資訊28at.com

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